Борис Клюев родился 13 июля 1944 года в Москве. Его отец Владимир Федорович был по образованию актером, с 1941 по 1943 год участвовал в Великой Отечественной войне. Мать будущего артиста Валентина Семеновна была бухгалтером во Всесоюзном доме композиторов.
В 1969 году Борис Клюев окончил Высшее театральное училище имени М.С.Щепкина. Он учился в мастерской народного артиста Леонида Волкова и заслуженного деятеля Вениамина Цыганкова. По окончании заведения попал в Малый театр, где сыграл в более чем 60 постановках.
Наибольшую популярность Клюеву принесли роли в фильмах и сериалах. В 1979 году вышла музыкальная картина "Д'Артаньян и три мушкетера", режиссером которой выступил Георгий Юнгвальд-Хилькевич. Борис Владимирович исполнил роль графа Рошфора.
В конце 70-х-начале 80-х годов Клюев появился в серии фильмов "Приключения Шерлока Холмса и доктора Ватсона". Актер сыграл брата знаменитого сыщика – Майкрофта Холмса – умного и хитрого. Он был работником Министерства иностранных дел, а также состоял в таинственном клубе.
Другой известной работой Бориса Владимировича стала роль Григория Орлова в многосерийном телефильме "Михайло Ломоносов", посвященном жизни легендарного ученого и литератора. Клюеву выпала возможность сыграть одного из фаворитов императрицы Екатерины II.
В новом веке Клюев продолжил сниматься в фильмах и сериалах. В 2004 году актер исполнил роль генерала Вячеслава Поливанова в сериале "Слепой". Это экранизация цикла одноименных повестей писателя Андрея Воронина, повествующего о секретном агенте спецслужб Глебе Северове.
Спустя четыре года Борис Владимирович появился в теленовелле "Общая терапия", где сыграл заведующего терапевтическим отделением Михаила Тышкевича. Это ремейк итальянского сериала о буднях врачей. Партнерами артиста по съемочной площадке стали Анна Снаткина и Андрей Чернышов.
Особенно актер полюбился зрителям ролью Николая Петровича в ситкоме "Воронины". Борис Владимирович сыграл вечно недовольного пенсионера, который постоянно спорил с женой и угрожал от нее уйти. Самые яркие фразы его героя разобрали на цитаты.
Одной из последних работ Клюева стало участие в популярном детективном телесериале "Улицы разбитых фонарей". Съемки длились с 2013 по 2017 год. Борис Владимирович сыграл генерал-майора полиции Алексея Мерзлякина. Также в теленовелле снялись Юрий Кузнецов, Леонид Куравлев и Георгий Штиль.